Вариационный подход к расчёту функции эйконала
Досколович Л.Л., Мингазов А.А., Быков Д.А., Андреев Е.С.

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Россия, Самарская область, г. Самара, Московское шоссе, д. 34,

ИСОИ РАН – филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, 443001, Россия, Самарская область, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 151

Аннотация:
Задача расчёта функции эйконала из условия фокусировки в заданную область сформулирована как вариационная задача и как задача Монжа–Канторовича о перемещении масс. Получено, что функция стоимости в задаче Монжа–Канторовича соответствует расстоянию между точкой исходной области, в которой задана функция эйконала, и точкой области фокусировки. Предложенный в работе формализм позволяет свести расчёт функции эйконала к решению задачи линейного программирования. При этом расчёт «лучевого отображения», соответствующего функции эйконала, сводится к решению линейной задачи о назначениях. Предложенные вариационные подходы проиллюстрированы на примере расчёта оптических элементов для фокусировки пучка круглого сечения в прямоугольную область.

Ключевые слова:
геометрическая оптика, функция эйконала, вариационная задача, задача Монжа–Канторовича.

Цитирование:
Досколович, Л.Л. Вариационный подход к расчёту функции эйконала / Л.Л. Досколович, А.А. Мингазов, Д.А. Быков, Е.С. Андреев // Компьютерная оптика. – 2018. – Т. 42, № 4. – С. 557-567. – DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-4-557-567.

Литература:

  1. Wu, R. Freeform illumination design: a nonlinear boundary problem for the elliptic Monge–Ampére equation / R. Wu, L. Xu, P. Liu, Y. Zhang, Z. Zheng, H. Li, X. Liu // Optics Letters. – 2013. – Vol. 38, Issue 2. – P. 229-231. – DOI: 10.1364/OL.38.000229.
  2. Wu, R. Influence of the characteristics of a light source and target on the Monge–Ampére equation method in freeform optics design / R. Wu, P. Benítez, Z. Yaqin, J.C. Miñano // Optics Letters. – 2014. – Vol. 39, Issue 3. – P. 634-637. – DOI: 10.1364/OL.39.000634.
  3. Ma, Y. Hybrid method of free-form lens design for arbitrary illumination target / Y. Ma, H. Zhang, Z. Su, Y. He, L. Xu, X. Lui, H. Li // Applied Optics. – 2015. – Vol. 54, Issue 14. – P. 4503-4508. – DOI: 10.1364/AO.54.004503.
  4. Bösel, C. Ray mapping approach for the efficient design of continuous freeform surfaces / C. Bösel, H. Gross // Optics Express. – 2016. – Vol. 24, Issue 13. – P. 14271-14282. – DOI: 10.1364/OE.24.014271.
  5. Oliker, V.I. Mathematical aspects of design of beam shaping surfaces in geometrical optics / V.I. Oliker. – In Book: Trends in nonlinear analysis / V.I. Oliker, M. Kirkilionis, S. Krömker, R. Rannacher, F. Tomi. – Chapter 4. – Berlin, Heidelberg: Springer, 2003. – P. 193-224. – DOI: 10.1007/978-3-662-05281-5_4.
  6. Kochengin, S.A. Computational algorithms for constructing reflectors / S.A. Kochengin, V.I. Oliker // Computing and Visualization in Science. – 2003. – Vol. 6, Issue 1. – P. 15-21. – DOI: 10.1007/s00791-003-0103-2.
  7. Oliker, V. Controlling light with freeform multifocal lens designed with supporting quadric method (SQM) / V. Oliker // Optics Express. – 2017. – Vol. 25, Issue 4. – P. A58-A72. – DOI: 10.1364/OE.25.000A58.
  8. Oliker, V. Supporting quadric method in optical design of freeform lenses for illumination control of a collimated light / V. Oliker, J. Rubinstein, G. Wolansky // Advances in Applied Mathematics – 2015. – Vol. 62 – P. 160-183. – DOI: 10.1016/j.aam.2014.09.009.
  9. Fournier, F.R. Fast freeform reflector generation using source-target maps / F.R. Fournier, W.J. Cassarly, J.P. Rolland // Optics Express. – 2010. – Vol. 18, Issue 5. – P. 5295-5304. – DOI: 10.1364/OE.18.005295.
  10. Michaelis, D. Cartesian oval representation of freeform optics in illumination systems / D. Michaelis, P. Schreiber, A. Bäuer // Optics Letters. – 2011. – Vol. 36, Issue 6. – P. 918-920. – DOI: 10.1364/OL.36.000918.
  11. Glimm, T. Optical design of single reflector systems and the Monge–Kantorovich mass transfer problem / T. Glimm, V. Oliker // Journal of Mathematical Sciences. – 2003. – Vol. 117, Issue 3. – P. 4096-4108. – DOI: 10.1023/A:1024856201493.
  12. Doskolovich, L.L. On the use of the supporting quadric method in the problem of the light field eikonal calculation / L.L. Doskolovich, M.A. Moiseev, E.A. Bezus, V. Oliker // Optics Express. – 2015. – Vol. 23, Issue 15. – P. 19605-19617. – DOI: 10.1364/OE.23.019605.
  13. Soifer, V. Iterative methods for diffractive optical elements computation / V. Soifer, V. Kotlyar, L. Doskolovich. – London: Taylor & Francis Ltd., 1997. – 244 p. – ISBN: 0-7484-0634-4.
  14. Doskolovich, L.L. Analytic design of optical elements generating a line focus / L.L Doskolovich, A.Yu. Dmitriev, S.I. Kharitonov // Optical Engineering. – 2013. – Vol. 52, Issue 13. – 091707. – DOI: 10.1117/1.OE.52.9.091707.
  15. Wang, X.J. On the design of a reflector antenna II / X.J. Wang // Calculus of Variations and Partial Differential Equations. – 2004. – Vol. 20, Issue 3. – P. 329-341. – DOI: 10.1007/s00526-003-0239-4.
  16. Tardos, E. A strongly polynomial algorithm to solve combinatorial linear programs / Operation Research. – 1986. – Vol. 34, Issue 2. – P. 250-256. – DOI: 10.1287/opre.34.2.250.
  17. Canavesi, C. Direct calculation algorithm for two-dimensional reflector design / C. Canavesi, W.J. Cassarly, J.P. Rolland // Optics Letters. – 2012. – Vol. 37, Issue 18. – P. 3852-3854. – DOI: 10.1364/OL.37.003852.
  18. Canavesi, C. Observations on the linear programming formulation of the single reflector design problem / C. Canavesi, W.J. Cassarly, J.P. Rolland // Optics Express. – 2012. – Vol. 20, Issue 4. – P. 4050-4055. – DOI: 10.1364/OE.20.004050.
  19. Munkres, J. Algorithms for the assignment and transportation problems / J. Munkres // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. – 1957. – Vol. 5, No. 1. – P. 32-38. – DOI: 10.1137/0105003.
  20. Trace Pro [Electronical Resource]. – URL: https://www.lambdares.com/tracepro/ (date request 12.03.2018).
  21. Rhinoceros®: design, model, present, analyze, realize... [Electronical Resource]. – URL: http://www.rhino3d.com (date request 12.03.2018).
  22. MathWorks. File exchange. Munkres assignment algorithm [Electronical Resource]. – URL: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/20328-munkres-assignment-algorithm (date request 12.03.2018).

© 2009, IPSI RAS
Россия, 443001, Самара, ул. Молодогвардейская, 151; электронная почта: ko@smr.ru ; тел: +7 (846) 242-41-24 (ответственный секретарь), +7 (846) 332-56-22 (технический редактор), факс: +7 (846) 332-56-20