Вариационная интерпретация задачи расчёта функции эйконала из условия формирования заданного распределения освещённости
Мингазов А.А., Быков Д.А., Досколович Л.Л., Казанский Н.Л.

Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Россия, Самарская область, г. Самара, Московское шоссе, д. 34,

ИСОИ РАН – филиал ФНИЦ «Кристаллография и фотоника» РАН, 443001, Россия, Самарская область, г. Самара, ул. Молодогвардейская, д. 151

Аннотация:
Задача расчёта функции эйконала светового поля, заданной на некоторой поверхности, из условия формирования заданного распределения освещённости на некоторой другой заданной поверхности сформулирована как задача Монжа – Канторовича о перемещении масс. Получено, что функция стоимости в задаче о перемещении масс соответствует расстоянию между точкой исходной поверхности, на которой задана функция эйконала, и точкой поверхности, на которой требуется сформировать заданное распределение освещённости. Получено аналитическое выражение для градиента «функционала стоимости», описывающего задачу о перемещении масс. Это позволяет использовать для расчёта функции эйконала методы градиентного спуска.

Ключевые слова:
геометрическая оптика, неизображающая оптика, обратная задача, функция эйконала, задача Монжа – Канторовича о перемещении масс.

Цитирование:
Мингазов, А.А. Вариационная интерпретация задачи расчёта функции эйконала из условия формирования заданного распределения освещённости / А.А. Минга­зов, Д.А. Быков, Л.Л. Досколович, Н.Л. Казанский // Компьютерная оптика. – 2018. – Т. 42, № 4. – С. 568-573. – DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-4-568-573.

Литература:

  1. Doskolovich, L.L. Variational approach to calculation of light field eikonal function for illuminating a prescribed region / L.L. Doskolovich, A.A. Mingazov, D.A. Bykov, E.S. Andreev, E.A. Bezus // Optics Express. – 2017. – Vol. 25, Issue 22. – P. 26378-26392. – DOI: 10.1364/OE.25.026378.
  2. Soifer, V. Iterative methods for diffractive optical elements computation / V. Soifer, V. Kotlyar, L. Doskolovich. – London: Taylor & Francis Ltd., 1997. – 245 p. – ISBN: 0-7484-0634-4.
  3. Doskolovich, L.L. Analytic design of optical elements generating a line focus / L.L. Doskolovich, A.Yu. Dmitriev, S.I. Kharitonov // Optical Engineering. – 2013. – Vol. 52, Issue 9. – 091707. – DOI: 10.1117/1.OE.52.9.091707.
  4. Wu, R. A mathematical model of the single freeform surface design for collimated beam shaping / R. Wu, P. Liu, Y. Zhang, Zh. Zheng, H. Li, X. Liu // Optics Express. – 2013. – Vol. 21, Issue 18. – P. 20974-20989. – DOI: 10.1364/OE.21.020974.
  5. Wu, R. Freeform illumination design: a nonlinear boundary problem for the elliptic Monge–Ampére equation / R. Wu, L. Xu, P. Liu, Y. Zhang, Zh. Zheng, H. Li, X. Liu // Optics Letters. – 2013. – Vol. 38, Issue 2. – P. 229-231. – DOI: 10.1364/OL.38.000229.
  6. Wu, R. Initial design with L2 Monge–Kantorovich theory for the Monge–Ampère equation method in freeform surface illumination design / R. Wu, Y. Zhang, M.M. Sulman, Zh. Zheng, P. Benítez, J.C. Miñano // Optics Express. – 2014. – Vol. 22, Issue 13. – P. 16161-16177. – DOI: 10.1364/OE.22.016161.
  7. Ma, Y. Hybrid method of free-form lens design for arbitrary illumination target / Y. Ma, H. Zhang, Z. Su, Y. He, L. Xu, X. Lui, H. Li // Applied Optics. – 2015. – Vol. 54, Issue 14. – P. 4503-4508. – DOI: 10.1364/AO.54.004503.
  8. Bösel, C. Ray mapping approach for the efficient design of continuous freeform surfaces / C. Bösel, H. Gross // Optics Express. – 2016. – Vol. 24, Issue 13. – P. 14271-14282. – DOI: 10.1364/OE.24.014271.
  9. Wu, R. Formulating the design of two freeform lens surfaces for point-like light sources / R. Wu, S. Chang, Zh. Zheng, L. Zhao, X. Liu // Optics Letters. – 2018. – Vol. 43, Issue 7. – P. 1619-1622. – DOI: 10.1364/OL.43.001619.
  10. Munkres, J. Algorithms for the assignment and transportation problems / J. Munkres // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. – 1957. – Vol. 5, Issue 1. – P. 32-38. – DOI: 10.1137/0105003.
  11. Jonker, R. A shortest augmenting path algorithm for dense and sparse linear assignment problems / R. Jonker, A. Volgenant // Computing. – 1987. – Vol. 38, Issue 4. – P. 325-340. – DOI: 10.1007/BF02278710.
  12. Bertsekas, D.P. The auction algorithm: A distributed relaxation method for the assignment problem / D.P. Bertsekas // Annals of Operations Research. – 1988. – Vol. 14, Issue 1. – P. 105-123. – DOI: 10.1007/BF02186476.
  13. Досколович, Л.Л. Вариационный подход к расчёту функции эйконала / Л.Л. Досколович, А.А. Мингазов, Д.А. Быков, Е.С. Андреев // Компьютерная оптика. – 2018. – Т. 42, № 4. – С. 557-567. –DOI: 10.18287/2412-6179-2018-42-4-557-567.
  14. Кравцов, Ю.А. Геометрическая оптика неоднородных сред / Ю.А. Кравцов, Ю.И. Орлов. – M.: Наука, 1980. – 304 с.
  15. Evans, L.C. Partial differential equations and Monge–Kantorovich mass transfer / L.C. Evans. – In: Current developments in mathematics, 1997 / ed. by R. Bott, A. Jaffe, D. Jerison, G. Lusztig, I. Singer, Sh.-T. Yau. – Boston, MA: International Press of Boston, Inc., 1998. – P. 65-126. – DOI: 10.4310/CDM.1997.v1997.n1.a2.
  16. Богачёв, В.И. Задача Монжа–Канторовича: достижения, связи и перспективы / В.И. Богачёв, А.В. Колесников // Успехи математических наук. – 2012. – Т. 67, Вып. 5. – С. 3-110. – DOI: 10.4213/rm9490.

© 2009, IPSI RAS
Россия, 443001, Самара, ул. Молодогвардейская, 151; электронная почта: ko@smr.ru ; тел: +7 (846) 242-41-24 (ответственный секретарь), +7 (846) 332-56-22 (технический редактор), факс: +7 (846) 332-56-20